a = 0,9999999…

10a = 9,999999…. = 9+a

10a-a = 9

9a = 9

a = 1

0,9999999…. = 1 !!!!

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

…

111111111² = 12345678987654321

Comment passer d’un carré à un autre ???

1    4    9    16    25     36     49 …

  +3  +5  +7   +9    +11   +13

On passe de n² à (n+1)² en rajoutant (2n+1) (voir dessin)

exemple 144 est le carré de 12.

144 + (2*12+1) = 144 + 25 = 169 qui est le carré de 13.

Comment représenter la racine carrée d’un nombre avec une règle graduée et un compas ?

Tracer un segment AB de la longueur dont on veut connaître la racine carrée. Prolonger sur la gauche de 1 (CA=1). Prendre le milieu de CB pour tracer le demi-cercle supérieur de diamètre CB. A partir du point A, monter perpendiculairement à CB jusqu’à atteindre l’arc de cercle en D. La longueur AD représente la racine carrée de AB.

Nombre insolite : 142 857

142 857 * 1 = 142 857

142 857 * 2 = 285 714

142 857 * 3 = 428 571

142 857 * 4 = 571 428

142 857 * 5 = 714 285

142 857 * 6 = 857 142  ... ce sont toujours les mêmes chiffres qui apparaissent, changeant tout simplement de place comme un ruban.

et 142857 * 7 = 999 999

Or en additionnant 142 + 857, on obtient 999

14 + 28 + 57 ? 99

Le carré de 142 857 est 20 408 122 449. et 20 408 + 122 449 = 142 857!